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Este blog está diseñado para presentar todos mis trabajos. Este blog remplaza al antiguo "My virtual portfolio"

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Actividades de cálculo

Taller 1
http://es.scribd.com/doc/6107025/Taller-de-limites
Taller 2

http://es.calameo.com/read/000090383a5070cf168d4

Taller de Derivadas para descargar aquí. 

Taller de Oleoductos aquí.

1. Conceptos básicos

• El punto

No tiene dimensión, ni medida. La dimensión es cero, se denota con las letras mayúsculas del abecedario.

• La Recta

Tiene una dimensión de 1, está formada por infinitos puntos en una misma dirección, de longitud infinita. Se denota con las letras minúsculas del abecedario, por lo general se usan m, n, l, etc., pero también se puede nombrar como AB.

• El Plano

El plano tiene 2 dimensiones, se extiende a lo largo y ancho infinitamente, se denota con las letras griegas α, β, γ, etc.

• El segmento

Es una parte de una recta, comprendido entre dos puntos y todos los puntos que están entre ellos, se denota como AB (Punto inicial - Punto Final)

• La Semirrecta o rayo

Es una porción de una recta que contiene un punto A y todos los puntos que estén del mismo lado de A, el rayo empieza en A y sigue infinitamente AB (A= Punto Inicial - B= Dirección)

• Ángulo

Es una figura formada por dos semirrectas, que tienen el mismo punto inicial. Se denota CAB o BAC (siendo A el vértice y B y C los puntos de la dirección.

• Puntos Colineales

Los puntos colineales son los puntos que están sobre una misma recta.

• Puntos Coplanales

Son todos los puntos que están sobre el mismo plano.

Ver gráficas de los conceptos básicos aquí.

2. Axiomas de Euclides

• Axioma 1

Una recta contiene al menos 2 puntos distintos.

• Axioma 2

Un plano contiene al menos 3 puntos distintos.

• Axioma 3

El espacio contiene al menos 4 puntos no coplanales.

•  Axioma 4

Por dos puntos distintos pasa una única recta. Este axioma garantiza que no pueden ser curvas.

• Axioma 5

 Por tres puntos distintos (no colineales), pasa uno y solo un plano.

• Axioma 6

Si dos puntos están en una plano, entonces la recta que los contiene está contenida en el plano.

• Axioma 7

Si dos planos distintos se intersectan, entonces su intersección es una linea recta. Este axioma demuestra que no pueden ser planos curvos.

Ver gráficas de los Axiomas aquí (Método Deductivo.fig).

3. Historia y biografía de Euclides

Uno de los más grandes matemáticos griegos. Fue el primero que estableció un método riguroso de demostración geométrica. La Geometría construida por Euclides se mantuvo incólume hasta el siglo XIX. La piedra angular de su geometría es el Postulado: "Por un punto exterior a una recta sólo puede trazarse una perpendicular a la misma y solo una". El libro en que se recoge sus investigaciones lo tituló "Elementos", es conocido en todos los ámbitos y ha sido traducido a los idiomas cultos. Se dice que Euclides era mejor que Arquímedes.

Miremos un video en Youtube.

4. Postulados de Euclides

Euclides planteó cinco postulados en su sistema:

1. Dados dos puntos se puede trazar una y solo una recta que los une.
2. Cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquier sentido.
3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.
4. Todos los ángulos rectos son congruentes.
5.  Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada.

Ahora veremos un video de YouTube

Ahora veremos un archivo en Cabri Geometry II Plus

Para descargar, dé clic aquí y abra el archivo "Método Deductivo.fig"

5. Teoremas de Euclides

Miremos de una forma gráfica los teoremas de Euclides.

6. Explicación Teoremas de Euclides

Aquí explican de dónde salen las ecuaciones de los catetos y la de la altura con respecto a las proyecciones.

7. Explicación de Resolución de problemas

La imagen muestra  la resolución en GeoGebra del siguiente problema:


En un triangulo rectángulo en C se sabe que AB = 100cm, BC = 80 cm y AC =60 cm.
Calcule las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa y la altura hc del triangulo.

Para la resolución, se deben utilizar las ecuaciones, y despejarlas de forma normal, de acuerdo a los datos que hayan.

Para ver el archivo llamado GeoDemos1.ggb, haga clic aquí.

8. Problemas relacionados con la altura

Se debe utilizar la ecuación que mejor responda a la necesidad del problema. Por ejemplo, el problema:

Si un cateto del triangulo rectángulo en C mide 8 cm, la proyección del otro cateto sobre la hipotenusa mide 6,4 cm. Encuentre la medida de los otros dos lados, la proyección de lado a sobre la hipotenusa y la altura hc. 

Aquí podríamos utilizar cualquiera de las dos ecuaciones, porque para hallar la altura, necesitamos saber la longitud de los catetos, que se halla con

En GeoGebra se resolvió así:

Para mirar la resolución del problema en GeoGebra, abra el archivo GeoDemos1'.ggb aquí.

9. Ejercicios desarrollados de los Teoremas de Euclides

Descargue aquí el taller "Taller GeoDemos3.docx"

Descargue aquí los ejercicios resueltos.

5.11.1. Definición

Ley del Seno

Las funciones trigonométricas se pueden usar para triángulos oblicuos, en el que se hace necesario derivar algunas propiedades como la Ley de los Senos.

Si sabemos que la altura sobre un lado del triángulo, es igual al seno del ángulo (h/b=sen A  y  h/a=sen B)

Entonces
 h=b*sen A  y  h=a*sen B

Y si se intenta con sen C, quedaría:

Para resolver un problema con esta ley se toman dos miembros de la Igualdad, los que se necesiten.

 

Ley del Coseno
Es una generalización del teorema de Pitágoras. Fue postulado en el libro "Los Elementos" de Euclides.

Para trabajar esta ley, es necesario tener en cuenta que el lado que se va a trabajar debe ser opuesto al ángulo a trabajar, porque en Geometría un lado de un triángulo es opuesto a su vértice, así:

El teorema del Coseno se define como: En cualquier triángulo, el cuadrado de un lado es la suma de los cuadrados de los otros dos, menos dos veces el producto de dichos lados y el coseno del ángulo que lo forman.

Esas son las fórmulas del teorema del Coseno. La de la parte superior es para hallar un lado, y la de la parte inferior, para un ángulo.

5.11.2. Problema 1

El problema dice:
Un barco sale de puerto con rumbo N 38º O con velocidad de 25 km/h, un segundo barco parte en el mismo instante con rumbo N 63º E con velocidad de 32 km/h. Determine la distancia que los separa al cabo de 4 horas.

Así es la construcción en Cabri:

Así es como se resolvería en un cuaderno, pero en Excel:

Ver la construcción en Cabri Geometry II Plus "Barcos.fig" aquí.
Ver la solución en Microsoft Excel hoja "Punto 1" del archivo "Ejercicios concatenados" aquí.

5.11.3. Problema 2

El problema dice:
Con los datos del ejercicio anterior. Si el primer barco sufre una avería en sus motores cuando llevaba 6 horas de recorrido. El rumbo que debe tomar el segundo barco para lograr ayudar al primer barco es:

Así es la construcción en Cabri:

Así es como se resolvería en un cuaderno, pero en Excel:

Ver la construcción en Cabri Geometry II Plus "2do barco.fig" aquí.
Ver la solución en Microsoft Excel hoja "Punto 2" del archivo "Ejercicios concatenados" aquí.

5.11.4. Problema 3

El problema dice:
Se han tomado las siguientes medidas de las vías de acceso a una playa...Halle la longitud del lado EB. La longitud del lado AB.

Así es la construcción en Cabri:

Así es como se resolvería en un cuaderno, pero en Excel:

Ver la construcción en Cabri Geometry II Plus "Playa.fig" aquí.
Ver la solución en Microsoft Excel hoja "Punto 3" del archivo "Ejercicios concatenados" aquí.

5.11.5. Problema 4

El problema dice:
Para ir de una estación A hasta una estación B, se deben recorrer 1560 metros con rumbo 46º Sur - Oeste, el guía del grupo tomo mal el dato y entendió que el rumbo es 36º Sur – Este. Si después de haber recorrido 1200 metros (Punto C), un miembro del grupo se da cuenta del error. ¿Qué distancia deben recorrer para llegar a B?, ¿Cuál debe ser el rumbo que deben tomar?

Así es la construcción en Cabri:

 Así es como se resolvería en un cuaderno, pero en Excel:

Ver la construcción en Cabri Geometry II Plus "Tren.fig" aquí.
Ver la solución en Microsoft Excel hoja "Punto 4" del archivo "Ejercicios concatenados" aquí.

5.11.6. Problema 5

El problema dice:
Un avión de reconocimiento que vuela a 240 metros de altura encuentra una isla frente a él.
Determinar la longitud de la isla.

Así es la construcción en Cabri:

 Así es como se resolvería en un cuaderno, pero en Excel:

 Ver la construcción en Cabri Geometry II Plus "Avion.fig" aquí.
Ver la solución en Microsoft Excel hoja "Punto 5" del archivo "Ejercicios concatenados" aquí.

5.11.7. Problema 6

El problema dice:
Sobre la pared vertical de una montaña se halla un nido de aves, un observador determina que el
ángulo de elevación es de 36º, camina acercándose a la base de la montaña recorriendo 250 metros y
el nuevo ángulo de observación es de 68º. Determinar la distancia que le falta recorrer al observador
para llegar ala base de la montaña y la altura del nido desde el suelo.

Así es la construcción en Cabri:

 Así es como se resolvería en un cuaderno, pero en Excel:

Ver la construcción en Cabri Geometry II Plus "Nido.fig" aquí.
Ver la solución en Microsoft Excel hoja "Punto 6" del archivo "Ejercicios concatenados" aquí. 

5.11.8. Problema 7

El problema dice:
Determinar la medida de los lados y ángulos de la figura que faltan.

Así es la construcción en Cabri:

Así es como se resolvería en un cuaderno, pero en Excel:

Ver la construcción en Cabri Geometry II Plus "Carros parque.fig" aquí.
Ver la solución en Microsoft Excel hoja "Punto 7" del archivo "Ejercicios concatenados" aquí.

5.11.9. Problema 8

El problema dice:
La sombra que da un árbol es de 16.75 m; si sabemos que el ángulo de elevación del sol mide
38° y el árbol tiene una inclinación vertical de 10º, la longitud del árbol es:

Así es la construcción en Cabri:

Así es como se resolvería en un cuaderno, pero en Excel:

 Ver la construcción en Cabri Geometry II Plus "Árbol.fig" aquí.
Ver la solución en Microsoft Excel hoja "Punto 8" del archivo "Ejercicios concatenados" aquí.

5.11.10. Problema 9

El problema dice:
Halle la distancia entre las dos viviendas.

Así es la construcción en Cabri:

Así es como se resolvería en un cuaderno, pero en Excel:

Ver la construcción en Cabri Geometry II Plus "Distancia Casas.fig" aquí.
Ver la solución en Microsoft Excel hoja "Punto 9" del archivo "Ejercicios concatenados" aquí.

1. Historia de Grecia

La Antigua Grecia

La civilización helénica de la Grecia antigua fue la primera civilización en aparecer en la Tierra, se extendió por la Península Balcánica, las islas del mar Egeo y las costas de la Península de Anatolia actual Turquía. Todo ese territorio constituyó la llamada "Hélade". La civilización griega tiene sus orígenes en las culturas cretense y micénica.

 Al aparecer estas dos culturas, hubo problemas políticos, territoriales y naturales, que hizo que Grecia decayera a un nivel primitivo.

Después Grecia llega a un apogeo al convertirse en polis independientes de la metrópoli (polis madre)

Mire la información completa aquí.

Mire un video en el que se explica mejor

2. Biografía de Arquímedes

Nació en Siracusa, Sicilia en 287 a.C. Se dice que fue el más genial de los matemáticos de la Antigüedad. Fue el primero en aplicar de forma metódica las ciencias a los problemas de la vida real. Por espacio de tres años defendió a Siracusa, su ciudad natal, contra el ataque de los romanos. Fue autor de innumerables inventos mecánicos entre los que están el tornillo sinfin, la rueda dentada, las poleas, etc. Fue asesinado por un soldado enemigo mientras resolvía un problema matemático en Siracusa en 212 a.C. Fundó la Hidrostática al descubrir el principio que lleva su nombre.

Ver más sobre el ingenio de Arquímedes aquí.

Ver video sobre Arquímedes

3. Inventos de Arquímedes

Dentro de sus inventos se puede destacar:

• Tornillo sin fin:

 Es una máquina que sirve para elevar o descender aguas, cereales, harinas o excavaciones. Se basa  en un tornillo que gira dentro de un tubo hueco, se ubica de forma inclinada para que permita elevar el cuerpo o fluido ubicado por debajo del eje de giro. Su movimiento genera energía. Se ha utilizado para recuperación de tierra y drenaje en los Países Bajos, entre otros.

Ver más sobre el Tornillo sin fin aquí.

• Polea:

Es una máquina simple utilizada para transmitir fuerzas. Consiste en una rueda con una canal en su borde que sirve para pasar una cuerda o cable y que es usado como transmisor para cambiar la dirección del movimiento en mecanismos. También sirve para reducir la magnitud de las fuerzas necesarias para mover un peso. Se le atribuye a Arquímedes, porque se dice que con ayuda de las poleas, lograría con facilidad levantar barcos cargados y que con esta, 'movería a la Tierra'.

Ver más sobre la Polea aquí.

• Catapulta

 Es un instrumento de corte militar utilizado en la Antigüedad para efectuar lanzamientos a gran distancia de objetos pesados que servían como proyectiles. Al parecer, fue creada por Arquímedes como apoyo de la Garra de Arquímedes y la mejoraron en la Edad Media.

Ver más sobre la Catapulta aquí.

• Rayo de la muerte

Se dice que Arquímedes, en la  defensa de Siracusa, inventó una serie de espejos ustorios que dispuestos a cierta distancia y dirección, lograban incendiar las embarcaciones de los romanos.
Se dice que es un mito, miremos porqué:

Miremos un video sobre los inventos de Arquímedes y su vida:

4. Problemas sobre Torques

Problema:

En una oficina, un brazo hidráulico empuja a una puerta de 60 cm de ancho con un trabajo de 1200 Joule ¿Cuál es la fuerza que haga el trabajo?

Siendo:

τ= El trabajo del torque

F= La fuerza empleada

r= El radio, es decir, el ancho de la puerta en metros.

Entonces

τ=1200 J

F=2000 N

r= 0,6 m

Ver construcción en Cabri Geometry II plus aquí (Archivo: Brazo hidraulico.fig)

Ver resolución en Microsoft Excel aquí (Archivo: Brazo hidráulico (solución).xlsx)

6.1. Historia de la Música

Historia de la música hasta 1890:

Historia de la música, con énfasis desde 1890 hasta hoy:

6.2. La Taketina

La Taketina es un proceso de grupo musical que permite a los participantes desarrollar un sentido de ritmo. Fue desarrollado por el músico austriaco Reinhard Flatischler, aproximadamente en 1970.
Postula que cada persona tiene un talento rítmico, que puede ser el medio de educación del ritmo de Taketina que se impartirían. Él ve el aprendizaje de la rítmica, como algo ligado a la Humanidad.
A través de sílabas como "La Ga Ma", "Ta Ke Ti Na", "Mu San Ga La" y otras, al pronunciarlas seguido, se nos 'pega' el rítmo que tiene cada palabra y nos permite tener la capacidad de hacer el rítmo con nuestro cuerpo.
La Taketina tiene como característica la polirritmia. Esto se ve en la simultaneidad del rítmo. Su simultaneidad es: Pasos, Palmas, Llamada y Respuesta. La llamada y respuesta, se puede utilizar a través de la voz, o del rítmo corporal. Hay que definir desde un principio el orden de los sonidos, de tal manera que sean armónicos y a la vez, autónomos.
Una ventaja de la Taketina es que es más fácil de hacer los ritmos especiales, se sabe en donde se tiene que dividir el rítmo (parecido a una cuerda que se divide en la mitad, en la quinta parte, en la cuarta parte, en la tercera parte...)
Las personas que abandonan el estudio de la Taketina, inevitablemente tendrán que retomar y reaprender el rítmo cuando quieran regresar.

Miremos unos videos acerca de la Taketina (no se dispone en español)

6.3. Filósofos y matemáticos basados en la música

6.3.1. Pitágoras de Samos (585 a.C. 500 a.C)

6.3.2. Arquitas (430 a.C.- 360 a.c.)

6.3.3. Nicómaco

6.3.4. Euclides

6.3.5. Severino Boecio

6.3.6. Fibonacci

6.3.7. Johannes Kepler

6.3.8. Carl Friedrich Gauss

5.1. Historia de la Trigonometría

La  Trigonometría egipcia y babilónica se basaba con las pirámides y lo grababan en piedras. La inclinación de las caras fundó la Trigonometría. Los babilonios hicieron ternas pitagóricas.
Los griegos fueron los primeros que desarrollaron la trigonometría y la astronomía. Lograron calcular la distancia Sol-Tierra, Luna-Tierra y concluyen que era sen 3°. Se basaban en la medida de los ángulos de la circunferencia. Aquímedes, Plutarco, Eratóstenes, Euclides, etc., desarrollaron la trigonometria griega. Se destaca de los griegos hallar que π=3.16, y de Eratóstenes descubrir que la Tierra era redonda con el experimento Alejandría-Siena.
El Almagesto lo trabajó Ptolomeo y él trabajó Geometría y Trigonometría. Es una obra maestra que la estudió y la trabajó Copérnico y otras civilizaciones, es más, se notó el avance.
Ptolomeo formula la función seno. Los hindúes adquieren los conocimientos y los transforman, haciendolo más moderno. Es como Ptolomeo y los hindúes perciben la función seno. Entre Brahmagupta, Aryabhata y Bhaskara desarrollaron la Trigonometría, encontrando el valor exacto de π a base de un sistema infitesimal.
Los árabes llegaron a las 6 funciones trigonométricas gracias al tener en cuenta la sombra de una varilla con una pared y el piso. Escogen el sistema de numeración hindú. El Almagesto y la trigonometría hndú fueron su base. Llegaron a las identidades trigonométricas y el ángulo. Desde este momento, la trigonometría se independiza de la astronomía, pero van ligadas.
La trigonometría en Europa medieval. Los romanos no entendían la trigonometría griega, que llegó acompañada del álgebra y el sistema indo-árabe, cuyo importador fue Fibonacci. No entendían ni se interesaban por la trigonometría griega, y terminan aprendiendo la árabe (trigonometría y astronomía) en el siglo XII. Nasir Eddin, en una obra, separó la astronomía de la trigonometría.
Con la llegada del Renacimiento, se tradujo los conocimientos griegos y los árabes al latín, y por mala traducción del sánscrito al árabe y del árabe al latín, se le llamó Seno a la primera función. Copérnico recibe conocimientos a través de Müller. Se maneja la trigonometría independiente de la astronomía (como ya se había dicho), se imprime el conocimiento y se extendió. Copérnico hizo que se tomara el Heliocentrismo, cambiando el Geocentrismo de Ptolomeo.
En la revolución científica se ve que el álgebra, la aritmética, la geometría y la trigonometría no alcanzaba. Desde Newton se inventa el cálculo infinitesimal, los logaritmos, la Geometría analítica para que se cubriera todos los campos del Universo. Con la invención del Cálculo, se complementa la trigonometría.  Newton era el líder de la teoría heliocéntrica y la física.
Miremos un video sobre la Trigonometría hindú.

5.2. Teorema de Pitágoras

Ver entrada 4.2., donde se explica este tema aquí.

5.3. Relaciones trigonométricas

Encuentre tres problemas de trigonometría aquí.
Encuetre la construcción en Cabri Geometry aquí.

Encuentre el concepto de las relaciones trigonométricas, y las relaciones en sí aquí.

5.4. Teoremas del Seno y del Coseno

Para más información, dé clic aquí.

5.5. Gráficas de las funciones trigonométricas

5.5.1. Función Seno

5.5.2. Función Coseno

5.5.3. Función Tangente

5.5.4. Lineas trigonométricas Seno y Coseno

Vea las construcciones en Cabri Geometry II Plus aquí.

GeoGebra

5.5.5. Función Seno

5.5.6. Función Coseno

5.5.7. Función Tangente

5.5.8. Función Cotangente

5.5.9. Función Secante

5.5.10. Función Cosecante

 Vea las construcciones en GeoGebra aquí.
Vea la evaluación de la función Tangente aquí.

5.6. EME: Aplicación de las funciones trigonométricas

5.6.1. Problema del árbol

Se quiere medir la altura de un árbol, para lo cual se usan los datos: 3,5 metros de sombra proyectada a un ángulo de 60°. ¿Qué altura tiene el árbol?

5.6.2. Problema del puente

Un puente levadizo tiene dos secciones de 6,5 m y cada una de ellas puede levantarse 45° ¿Cuál es la altura máxima que da cada sección? ¿A qué distancia quedan separadas las secciones cuando el ángulo de elevación es de 30°? ¿Cuál es la distancia máxima de sparación de las dos secciones?

5.6.3. Problema del edificio-cicla

Desde lo alto de un edificio de 80 metros de altura, se ve un objeto con un ángulo de depresión de 30°. ¿A qué distancia se encuentra el objeto del edificio?

5.6.4. Problema de la torre de control

Jorge se encuentra a 70 metros en plano horizontal de la torre de control de un aeropuerto. Si observa la parte más alta de la torre con un ángulo de elevación de 45° ¿Cuál es la altura de la torre?

Vea los archivos en Cabri y GeoGebra aquí.
Vea la solución de los problemas en Excel aquí.